Halaman
Matematika159b. Jika titik A di putar pada O sejauh 180o, maka perubahan titik Adideskripsikan sebagai berikut.21180o + 30o–1–2–22BAA2θOT–1yx31, 22Gambar 4.23 Rotasi titik A pada O sejauh 180o231,22A−−Dari gambar di atas, diperoleh∠TOA2 = 30oCermati bahwa jika segitiga siku-siku OBA diputar pada O sejauh 180o, maka diperoleh segitiga siku-siku OTA2Akibatnya, sin ∠TOA2= sin 30o = ⇔TA2 = –sin 30o×OA2 (TA2 sejajar sumbu y negatif )⇔TA2 = –12× 1 = –12 cos ∠TOA2 = cos 30o = ⇔OT = –cos 30o×OA2(OT berada pada sumbu x negatif )⇔OT = –32× 1 = –32Jadi, koordinat titik A2 =
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK160Akibatnya, tan ∠TOA2 = tan 30o = Dengan demikian relasi sudut 30o pada kuadran III, dapat ditulis:•sin (30o + 180o) = sin 210o = –sin 30o = –12•cos (30o + 180o) = cos 210o = –cos 30o = –32• tan (30o + 180o) = tan 210o = tan 30o = 133Untuk tiga perbandingan trigonometri lainnya, silakan kamu temukan hubungannya.c. Perubahan Titik A setelah diputar pada O sejauh 270o, dideskripsikan pada gambar berikut ini.21–1–2–22BAθO–1yxGambar 4.24 Rotasi titik A pada O sejauh 270oA3Karena θ = 30o, maka jika titik A diputar sejauh 270o, maka titik A3 berada di kuadran IV. Akibatnya, ∠BOA3 = 60o dan ∠BA3O = 30o, maka
Matematika161sin ∠OA3B = sin 30o = OBOA3⇔ OB = sin 30o×OA3⇔ OB = 12× 1 = 12cos ∠BA3O = cos 30o = ⇔BA3 = –cos 30o×OA3 (BA3 sejajar sumbu y negatif )⇔BA3 = –32× 1 = –32Sehingga koordinat titik A3 = . Dengan demikian, tan ∠BA3O = tan 30o = Dengan demikian relasi sudut 30o pada kuadran IV, dapat ditulis:•sin (30o + 270o) = sin 300o = –cos 30o = –sin 60o = –32•cos (30o + 270o) = cos 300o = sin 30o = cos 60o = 12• tan (30o + 270o) = tan 300o = cot 30o = –tan 60o = –3Silakan temukan tiga hubungan perbandingan trigonometri lainnya.Masalah 4.8Diketahui grafik lingkaran dengan r = 1 satuan. Ada titik A merupakan titik potong garis dengan lingkaran pada kuadran I. Sudut θ merupakan sudut lancip yang dibentuk oleh jari-jari terhadap sumbu x. Misalnya, θ = 45o.
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK162OBA21–1–2–2–112xyθGambar 4.25 Segitiga siku-siku OAB dan ∠θ = 45oDengan demikian, dapat dituliskan bahwasin 45o = ABOA⇔AB = OA× sin 45o⇔AB = 22cos 45o = OBOA⇔OB = OA× cos 45o⇔OB = 22Jadi, koordinat titik A = 22,22Dapatkah kamu selidiki bagaimana perubahan titik A jika diputar berlawanan dengan arah putaran jarum jam sejauh 90o, 180o, dan 270o? Selanjutnya, selidiki perubahan nilai sinus, cosinus, dan tangen untuk setiap besar putaran. Apa kesimpulan yang dapat kamu tarik?
Matematika163Alternatif PenyelesaianDari penjelasan Masalah 4.8, diketahui titik A = 22,22, berada di kuadran I .Untuk itu dengan mudah dapat kita pahami hal-hal berikut.a. Jika titik A diputar pada O (berlawanan dengan arah putaran jarum jam) sejauh 90o, maka titik A berada di kuadran II.b. Jika titik A diputar pada O (berlawanan dengan arah putaran jarum jam) sejauh 180o, maka titik A berada di kuadran III.c. Jika titik A diputar pada O (berlawanan dengan arah putaran jarum jam) sejauh 270o, maka titik A berada di kuadran IV.Sekarang kita akan mengkaji satu-satu kejadian a, b, dan c.a. Jika titik A diputar pada O (berlawanan dengan arah putaran jarum jam) sejauh 90o, maka perubahan titik A disajikan pada gambar berikut ini.OTPAA121–1–2–2–145o12xyθGambar 4.26 Rotasi titik A pada O sejauh 90o22,22Jika ∠AOP = 45o, maka ∠A1OP = 45o + 90o = 135o, sedemikian sehingga ∠TA1O = 45o
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK164Perlu kamu ingat bahwa segitiga A1TO berada di kuadran II, TO bertanda negatif, tetapi A1T bertanda positif, akibatnyasin 45o = ⇔OT = –OA1× sin 45o(OT berada pada sumbu x negatif )⇔OT = –22cos 45o = ATOA11⇔A1T = OA1× cos 45o ⇔A1T = 22Jadi, koordinat titik A1 = Dengan demikian, kita memperoleh: tan 45o = Dengan demikian relasi sudut 45o pada kuadran I, dapat ditulis,•sin (45o + 90o) = sin 135o = cos 45o = sin 45o = 122•cos (45o + 90o) = cos 135o = –sin 45o = –cos 45o = –122• tan (45o + 90o) = tan 135o = –cot 45o = –tan 45o = –1 Untuk tiga perbandingan lainnya, kamu diharapkan dapat menuntaskannya.b. Jika titik A diputar (berlawanan dengan arah putaran jarum jam) sejauh 180o, maka perubahan titik A dideskripsikan pada Gambar 4.27. Dari gambar tersebut diperoleh bahwa ∠OA2T = 45o. Cermati bahwa jika segitiga siku-siku OAB diputar pada O sejauh 180o,maka diperoleh segitiga siku-siku OTA2.
Matematika165Akibatnya, A2T = –OB = –22 danOT = –AB = –22Jadi, koordinat titik A2 = Sekarang kita fokus pada segitiga OTA2. Dari segitiga tersebut diperolehsin ∠TA2O = sin 45o = cos ∠TA2O = cos 45o = tan ∠TA2O = tan 45o = Dengan demikian relasi sudut 45o pada kuadran III, dapat ditulis:•sin (45o + 180o) = sin 225o = –sin 45o = –22•cos (45o + 180o) = cos 225o = –cos 45o = –22• tan (45o + 180o) = tan 225o = tan 45o = 1 Tentunya, kamu dapat menentukan nilai perbandingan trigonometri lainnya.21–1–2–22AA2θOT–1yxGambar 4.27 Rotasi titik A pada O sejauh 180o22-,-2222,22B
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK166c. Jika titik A diputar pada O (berlawanan dengan arah putaran jarum jam) sejauh 270o, perubahan titik A setelah diputar dideskripsikan pada gambar berikut ini.21–1–2–22BAθO–1yxGambar 4.28 Rotasi titik A pada O sejauh 270oA3Karena θ = 45o, maka jika titik A digeser pada O sejauh 270o, maka titik A3berada di kuadran IV. Akibatnya, ∠OA3B = 45o, maka sin ∠OA3B = sin 45o = OBOA3⇔OB = sin 45o×OA3⇔OB = 22× 1 = 22cos ∠OA3B = cos 45o = ⇔A3B = cos 45o×OA3⇔A3B = –22× 1 = –22 Dengan demikian, koordinat titik A3 = dan tan ∠BOA3 = tan 45o =
Matematika167Dengan demikian, diperoleh bahwa•sin (45o + 270o) = sin 315o = –cos 45o = –22•cos (45o + 270o) = cos 315o = sin 45o = 22• tan (45o + 270o) = tan 315o = cot 45o = –1 Untuk melengkapi kesimpulan di atas, diharapkan kamu dapat menen-tukan tiga perbandingan trigonometri lainnya.Untuk θ = 60o dengan cara yang sama pada Masalah 4.8 dapat diperoleh kesimpulan bahwa•sin (60o + 90o) = sin 150o = –cos 60o = sin 30o = 12•cos (60o + 90o) = cos 150o = –sin 60o = –cos 30o = 123• tan (60o + 90o) = tan 150o = –cot 60o = –tan 30o = 133•sin (60o + 180o) = sin 240o = –sin 60o = –123•cos (60o + 180o) = cos 240o = –cos 60o = –12• tan (60o + 180o) = tan 240o = tan 60o = 3•sin (60o + 270o) = sin 330 = –cos 60o = –sin 30o = –12•cos (60o + 270o) = cos 330o = sin 60o = cos 30o = 123• tan (60o + 270o) = tan 330o = –cot 60o = –tan 30o = 133
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK168Masalah 4.9Diketahui grafik lingkaran dengan r = 1. Misalkan titik A(1, 0) . Selidiki perubahan titik A jika diputar pada O(berlawanan dengan arah jarum jam) sejauh 180o, 270o, dan 360o.Selanjutnya, simpulkan nilai sinus, cosinus, tangen untuk sudut-sudut 180o, 270o, dan 360o.Alternatif PenyelesaianDengan pemahaman kamu dari Masalah 4.7 dan 4.8 tentunya untuk mendeskripsikan Masalah 4.9 sudah merupakan sesuatu hal yang mudah.Perubahan titik A(1, 0) setelah diputar pada O (berlawanan dengan arah jarum jam) sejauh 180o, 270o, dan 360o dapatdideskripsikan pada gambar berikut ini.Gambar 4.29 Rotasi titik A pada O sejauh 180o, 270o,dan 360o21–1–2–22A(1, 0)A4(1, 0)A3(0, -1)A2(–1, 0)A1(0, 1)O–1yxa. Karena titik A diputar 180o, maka diperoleh titik A2(–1, 0).Titik A2(–1, 0) merupakan bayangan titik A di kuadran II.Dengan demikian, diperoleh bahwasin 180o = 0, cos 180o = –1, dan tan 180o = oosin 1800== 0cos 180-1 = 0
Matematika169b. Titik A3 = (0, –1) merupakan bayangan titik A2 (0, 1).Dengan demikian, diperoleh bahwa sin 270o = –1, cos 270o = 0, dan tan 270o = oosin 270-1=cos 2700 tak terdefinisi c. Jika titik A diputar pada O sejauh 360o, maka akan kembali ke titik A. Dengan demikian, diperoleh bahwasin 360o = 0, cos 360o = 1, dan tan 360o = ooosin 3600== 0.cos 3601Dengan demikian, nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa disajikan pada tabel berikut.Tabel 4.3 Nilai perbandingan nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewasincostancscseccot0o010~1~30o121231332233345o122122122160o123123233213390o10~1~0120o1233233–23135o1222–122–1150o1233233 – – –
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK170sincostancscseccot180o0–10~–1~210o3133–233225o221221240o333–2133270o-10~–1~0300o3123323315o2122–122–1330o1233–22333360o010~1~Keterangan: Dalam buku ini, simbol ~ diartikan tidak terdefinisi.Dengan memperhatikan secara cermat nilai-nilai pada tabel dan letaknya pada kuadran, maka dapat disimpulkan seperti dalam sifat berikut. Sifat 4.4Kuadran II 90o < θ≤ 180oNilai sinus bertanda positifcosinus, tangen bertanda negatifS(Saja)Kuadran III 180o < θ≤ 270oNilai tangen bertanda positifsinus, dan cosinus bertanda NegatifT(Tahu)Kuadran I 0o < θ≤ 90oNilai sinus, cosinus, tangenbertanda positifA(Asal)Kuadran IV 27o < θ≤ 360oNilai cosinus bertanda positifsinus dan tangen bertanda negatifA(Caranya) – – – – –
Matematika171Tanda positif dan negatif di setiap kuadran di atas diberikan untuk membantu kita mengingat nilai-nilai perbandingan trigonometri, selain melihat Tabel 4.3.Selain Tabel 4.3 dan Sifat 4.4 di atas, hal penting dan yang lain juga dapat disimpulkan, yaitu sifat relasi antarsudut, seperti disimpulkan pada sifat berikut.Sifat 4.5Untuk setiap 0o <a< 90oa. sin (90o + a) = cos a g.sin (180o + a) = –sin ab. cos (90o + a) = –sin a h.cos (180o + a) = –cos ac. tan (90o + a) = –cot a i.tan (180o + a) = tan ad. sin (180o – a) = sin a j.sin (360o – a) = –sin ae. cos (180o – a) = –cos ak.cos (360o – a) = cos af. tan (180o – a) = –tan a l.tan (360o – a) = –tan aMisalnya, jika θ = 30o dan θ = 60o, dengan menggunakan Sifat 4.5, makaa. cos (180o – θ) = cos (180o – 30o) = cos 150o = –cos 30o = –123 dancos (180o – θ) = cos (180o – 60o)= cos 120o = –cos 60o = –12(pada kuadran II, nilai cosinus bertanda negatif ).b. sin (180o + θ) = sin (180o + 30o) = sin 210o = –sin 30o = –12 dansin (180o + θ) = sin (180o + 60o)= sin 240o = –sin 60o = –123(pada kuadran III, nilai sinus bertanda negatif ).
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK172c. sin (360o – θ) = sin (360o – 30o) = sin 330o = –sin 30o = –12 dansin (360o – θ) = sin (360o – 60o)= sin 300o = –sin 60o = –123 (pada kuadaran IV, nilai sinus bertanda negatif ).d. tan (360o – θ) = tan (360o – 30o) = tan 330o = –tan 30o = –133(pada kuadran IV tangen bertanda negatif ).PertanyaanSetelah menemukan Sifat 4.4 dan 4.5 di atas, kamu dapat memunculkan pertanyaan-pertanyaan menantang terkait nilai perbandingan trigonometri. Misalnya,a. Bagaimana menentukan nilai sin 700o, cos 1.200o, dan tan 1.500o?b. Apa bedanya sin (30o)2 dengan (sin 30o)2?Sebelum kita melanjutkan kajian tentang identitas trigonometri, mari kita pahami contoh-contoh berikut.Contoh 4.10Jika diketahuia. cos α = –45, (α rad) α berada di kuadran II, tentukan nilai csc α dan cot α. b. tan b = –, (b rad) b berada di kuadran IV, tentukan nilai (sin b)2 + (cos b)2. Alternatif Penyelesaiana. Sudut α yang terletak di kuadran II menjadi penentu tanda nilai perbandingan trigonometri, seperti gambar berikut ini.
Matematika173Pada segitiga siku-siku tersebut, diketahui panjang sisi miring dan sisi di samping sudut α. Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh pan-jang sisi di depan sudut adalah 3.Dengan demikian, dengan Definisi 4.1, diper-oleh csc α = α115==3sin 35 cot α = α11-4==3tan 3-4 = 33−=−144Gambar 4.30 cos α di kuadran II53–4αGambar 4.31 tan b di kuadran IV20–1612bb. Dengan pemahaman yang sama dengan bagian a, tan b = – , dengan bpada kuadran IV, diilustrasikan sebagai berikut.Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh panjang sisi miring, yaitu 20.Akibatnya, dengan Definisi 4.1, diperoleh sin b = dan cos b = 1220Jadi, (sin b)2 + (cos b)2 = −+ = 221612256 + 1442020400= 221612256+144400-+===12020400400Contoh 4.11Di daerah pedesaan yang jauh dari bandar udara, kebiasaan anak-anak jika melihat/mendengar pesawat udara sedang melintasi perkampungan mereka mengikuti arah pesawat tersebut. Bolang mengamati sebuah pesawat udara yang terbang dengan ketinggian 120 km. Dengan sudut elevasi pengamat
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK174(Bolang) terhadap pesawat adalah sebesar θ, tentukan jarak pengamat ke pesawat, jikai. θ = 30oii. θ = 90oiii. θ = 120oAlternatif PenyelesaianIlustrasi persoalan di atas dapat disajikan pada Gambar 4.32Gambar 4.32 Sketsa pengamatan terhadap pesawat udara dengan sudut elevasi θ120 kmdθUntuk menentukan jarak pengamat terhadap pesawat, dengan diketahui ketinggian terbang pesawat, kita menentukan sin θ. (Mengapa?)i. Untuk θ = 30o, maka sin 30o = 120d⇔ o120120=== 2401sin 302dkmii. Untuk θ = 90o, maka sin 90o = 120d⇔ o120120=== 120sin 901dkmArtinya, saat θ = 90o, pesawat tepat berada di atas si Bolang, sehingga sama dengan tinggi terbangnya pesawat.iii. Untuk θ = 120o, maka sin 120o = + sin 60o = 120d⇔ o120120240===3sin 60332do120120240===3sin 60332do120120240===3sin 60332dkm
Matematika175Contoh 4.12Diketahui segitiga siku-siku ABD, ∠B = 90o, ∠A = 30o, dan AD = 8 cm. BC adalah garis tinggi yang memotong AD. Hitung keliling dan luas segitiga ABD.Alternatif PenyelesaianMemahami dan mencermati informasi tentang segitiga ABD merupakan langkah awal untuk menyelesaikannya. Salah satu buktinya kamu harus memahami, maka kamu harus mampu menuliskan dan menggambarkan kejadian tersebut.Gambar 4.33 Segitiga siku-siku ABDADB60oCxySecara lengkap informasi tentang segitiga ABD seperti pada gambar di samping Untuk dapat menentukan keliling segitiga, kita harus menemukan nilai xdan y.Perhatikan ∆ABD, kita mengetahuisin 60o = =8ABxAD⇔x = 8 × sin 60o ⇔x = 8 ×32 = 43cos 30o = =8BDyAD = ⇔y = 8 × cos 30o⇔y = 8 ×12 = 4Jadi, keliling segitiga ABD= AB + BD + AD= 43 + 8 + 4 = ( 43 + 12) cmUntuk menghitung luas segitiga ABD, kita harus mencari panjang BC.Perhatikan Gambar 4.33, fokuskan pada segitiga siku-siku BCD atau ABC.Penulis fokus pada segitiga BCD. 30o
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK176Untuk menemukan panjang BC, gunakan sin 60o.sin 60o = BCBD↔ 3=24BC⇔ BC = 23 cmJadi, luas segitiga ABD adalah ××2823== 83 cm22ADBC4.5 Identitas TrigonometriPada subbab ini kita akan mengkaji ekspresi perbandingan trigonometri selain atau/dan menggunakan nilai perbandingan trigonometri yang telah kita temukan. Pengetahuan dasar yang diperlukan pada subbab ini di antaranya definisi perbandingan trigonometri dan Teorema Pythagoras.Coba cermati masalah berikut ini.Masalah 4.10Diketahui suatu segitiga ABC, siku-siku di C. Misalkan ∠A = αrad, ∠Bbrad, AB = c, dan AC = b.Selain perbandingan trigonometri dasar, temukan ekspresi antara (sin α)2 dengan (cos α)2 atau dengan (tan α)2.Alternatif PenyelesaianPada segitiga ABC, seperti pada Gambar 4.34, diperoleh bahwac2 + a2 + b2Selain itu, kita juga dapat menuliskan bahwaa. sin α = ac, cos α = bc, dan tan α = abAkibatnya, (sin α)2 = sin2α = 222=aaccGambar 4.34 Segitiga siku-siku ABCAbcαaCBb